【題目】在單位正內(nèi)任取一點P，以PA、PB、PC為邊生成．

（1）當(dāng)分別為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時，求出點P的軌跡．

（2）證明：當(dāng)的周長取最小值時，面積取最大值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

如圖，記．

將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得，則，．就是由PA、PB、PC所組成的，且其三個內(nèi)角，，．

（1）當(dāng)存在時，為直角三角形．

由，知．

所以，點P在三個單位圓的弧AB、BC、CA上（圖）．

當(dāng)存在時，為鈍角三角形．

由，知．

由圓內(nèi)角大于圓周角知，點P在圖中的三個弓形內(nèi)（陰影部分，不包括邊界）．

當(dāng)，，同時成立時，為銳角三角形，得，，．

由圓外角小于圓周角知，點P在圖8中的三個圓弧外（曲邊內(nèi)部，不包括邊界）．

（2）先確定周長取最小值時點P的位置．為此，將如圖的繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得，聯(lián)結(jié)MC、PN．則折線．

當(dāng)且僅當(dāng)M、N、P、C四點共線時，的周長取最小值．此時，有，即點P為的中心（）．

下面說明，這恰好是面積取最大值的條件．

在中，由余弦定理和基本不等式有，

故．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．

在中，．

由面積公式有

．

兩處放大的地方同時取等號當(dāng)且僅當(dāng)

由式②有．

所以，．

從而，，代入式①得．

這表明，PA、PB在的中線上，且相交于距頂點處，點P為中心．

所以，當(dāng)點P為的中心時，的周長最短且面積最大，最大值為．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)(，)，且的解集為；數(shù)列的前項和為，對任意，滿足.

（1）求的值及數(shù)列的通項公式；

（2）已知數(shù)列的前項和為，滿足，，求數(shù)列的前項和；

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（1）從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？

（2）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？

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（2）設(shè)點.若直與曲線相交于兩點,求的值.

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【題目】某社區(qū)為了了解青少年的身體素質(zhì)，對本社區(qū)的名青少年進(jìn)行了調(diào)研，隨機(jī)抽取了若干名，年齡全部介于與歲之間，將年齡按如下方式分成五組：第一組；第二組；；第五組．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前三個組的頻率之比為，且第二組的頻數(shù)為．

（1）試估計這名青少年中年齡在內(nèi)的人數(shù)；

（2）求從本社區(qū)的名青少年中隨機(jī)抽取出的調(diào)研人數(shù)．

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【題目】某小型企業(yè)甲產(chǎn)品生產(chǎn)的投入成本x（單位：萬元）與產(chǎn)品銷售收入y（單位：萬元）存在較好的線性關(guān)系，下表記錄了最近5次該產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù).

x（萬元）

3

5

7

9

11

y（萬元）

8

10

13

17

22

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷該企業(yè)甲產(chǎn)品投入成本12萬元的毛利率更大還是投入成本15萬元的毛利率更大（毛利率）？

相關(guān)公式：，.

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【題目】下列命題錯誤的是

A. 三棱錐的四個面可以都是直角三角形；

B. 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n=1,2,3…)，若當(dāng)首項a1和公差d變化時，a5+a8+a11是一個定值，則S16為定值;

C. 中，sinA>sinB是的充要條件；

D. 若雙曲線的漸近線互相垂直，則這條雙曲線是等軸雙曲線．

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【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時，若直線： 與曲線沒有公共點，求的取值范圍.

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【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；

（2）若在點處的切線與軸平行，且函數(shù)在時，其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍．

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