Question

在數列{a_n}中，a₁=1，對于任意自然數n，都有a_n+1=a_n+n•2ⁿ，則a₁₅=（　�。�

• A、14•2¹⁵+2
• B、13•2¹⁴+2
• C、14•2¹⁵+3
• D、13•2¹⁵+3

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：在數列遞推式中依次取n=1，2，3…，n-1．得到n-1個等式，累加后再利用錯位相減法求解a_n，則答案可求．

解答：解：∵a_n+1=a_n+n•2ⁿ，
∴a2-a1=1•21，
a3-a2=2•22，
a4-a3=3•23，
…
an-1-an-2=(n-2)•2n-2，
an-an-1=(n-1)•2n-1．
累加得：a_n-a₁=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1 ①
又2a_n-2a₁=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ ②
①-②得：-a_n+a₁=2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ
=

2(1-2n-1)

1-2

-(n-1)•2n=（2-n）•2ⁿ-2．
∴an=(n-2)•2n+3．
∴a₁₅=13•2¹⁵+3．
故選：D．

點評：本題考查數列遞推式，考查了累加法求數列的通項公式，訓練了錯位相減法求數列的和，是中檔題．