Question

15．已知函數(shù)f（x）=（c-1）lnx-（x-1）lnc（c≠1）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)c＞1，證明：當(dāng)x∈（1，c）時(shí)，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=$\frac{c-1}{x}$-lnc=$\frac{c-1-xlnc}{x}$，令f′（x）=0，得x=$\frac{c-1}{lnc}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）設(shè)h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，當(dāng)x＞1時(shí)，${h}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}$＞0，h（x）為增函數(shù)，從而$\frac{c-1}{lnc}$＞1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x∈（1，c）時(shí)，f（x）＞0．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（c-1）lnx-（x-1）lnc（c≠1），x＞0，
∴f′（x）=$\frac{c-1}{x}$-lnc=$\frac{c-1-xlnc}{x}$，
令f′（x）=0，得c-1-xlnc=0，
解得x=$\frac{c-1}{lnc}$，
當(dāng)0＜c＜1時(shí)，lnc＜0，c-1＜0，∴$\frac{c-1}{lnc}$＞0，
當(dāng)c＞1時(shí)，c-1＞0，lnc＞0，∴$\frac{c-1}{lnc}$＞0，
若0＜x＜$\frac{c-1}{lnc}$，則f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
若x＞$\frac{c-1}{lnc}$，則f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)．
證明：（Ⅱ）設(shè)h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，${h}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}$＞0，∴h（x）為增函數(shù)，
∴c-1-lnc＞h（1）=0，
∴$\frac{c-1}{lnc}$＞1，
由f（x）的單調(diào)性知：x∈（1，$\frac{c-1}{lnc}$）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，x∈（$\frac{c-1}{lnc}$，c）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1或x=c時(shí)，f（x）在[1，c]取最小值，
∵f（1）=f（c）=0，
∴當(dāng)x∈（1，c）時(shí)，f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最值、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．