Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{{n{a_n}}}{{（n+1）（n{a_n}+2）}}（n∈{N^*}）$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{{n（3•{2^{n-1}}-1）}}$．

Answer 1

分析 由題意可知；（n+1）a_n+1=$\frac{n}{n{a}_{n}+2}$，設(shè)na_n=b_n，b_n+1=$\frac{_{n}}{_{n}+2}$，構(gòu)造等比數(shù)列，$\frac{1}{_{n+1}}$+1=$\frac{2}{_{n}}$+2=2（$\frac{1}{_{n}}$+1），$\frac{1}{_{1}}$+1=$\frac{1}{1×{a}_{1}}$+1=3，數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$+1}是以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得na_n=b_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

解答 解：由題意可知：（n+1）a_n+1=$\frac{na_n}{n{a}_{n}+2}$，
設(shè)na_n=b_n，
∴b_n+1=$\frac{_{n}}{_{n}+2}$，
∴$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{2}{_{n}}$+1，
，∴$\frac{1}{_{n+1}}$+1=$\frac{2}{_{n}}$+2=2（$\frac{1}{_{n}}$+1），
$\frac{1}{_{1}}$+1=$\frac{1}{1×{a}_{1}}$+1=3
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$+1}是以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
$\frac{1}{_{n}}$+1=3•2^n-1，
∴$\frac{1}{_{n}}$=3•2^n-1-1，
∴na_n=b_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$，
∴a_n=$\frac{1}{{n（3•{2^{n-1}}-1）}}$，
故答案為：$\frac{1}{{n（3•{2^{n-1}}-1）}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，考查構(gòu)造等比數(shù)列的方法，等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．