Question

17．若函數(shù)y=mlnx（m＞0）的圖象與函數(shù)y=e${\;}^{\frac{x}{m}}$的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （1，$\sqrt{e}$）
• B． （$\sqrt{e}$，e）
• C． （e，+∞）
• D． （$\sqrt{e}$，+∞）

Answer 1

分析 令b=${e}^{\frac{1}{m}}$＞1，則y=mlnx=$lo{g}_{{e}^{\frac{1}{m}}}x$=log_bx；y=$（{e}^{\frac{1}{m}}）^{x}$=b^x，即函數(shù)y=mlnx（m＞0）與y=${e}^{\frac{x}{m}}$ 互為反函數(shù)，且為增函數(shù)，兩函數(shù)圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故其有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于y=log_bx 與 y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）=log_bx-x 有兩個(gè)零點(diǎn)．

解答 解：令b=${e}^{\frac{1}{m}}$＞1，則y=mlnx=$lo{g}_{{e}^{\frac{1}{m}}}x$=log_bx；
y=$（{e}^{\frac{1}{m}}）^{x}$=b^x，即函數(shù)y=mlnx（m＞0）與y=${e}^{\frac{x}{m}}$ 互為反函數(shù)，且為增函數(shù)，
兩函數(shù)圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故其有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于y=log_bx 與 y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）=log_bx-x 有兩個(gè)零點(diǎn)，
由f'（x）=$\frac{1}{x}（lo{g}_e-x）$，
當(dāng)0＜x＜log_be時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞log_be 時(shí)，f'（x）＜0；
故f（x）_max=f（log_be），所以f（log_be）＞0；
即：log_b（log_be）＞log_be⇒$lo{g}_e\\;＞\\;e$＞e；
⇒e＞b^e⇒e＞${e}^{\frac{e}{m}}$；
解得：m＞e；
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反函數(shù)，方程根與圖形交點(diǎn)問題以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬中等題．