Question

如圖所示，線段AB、CD所在直線是異面直線，E、F、G、H分別是線段AC、CB、BD、DA的中點．
（1）求證：E、F、G、H共面且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）設P、Q分別是AB和CD上任意一點，求證：PQ被平面EFGH平分．

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得EH∥CD，F(xiàn)G∥CD，從而EH∥FG，由此能證明E，F(xiàn)，G，H共面，由EH∥CD，的CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH．
（2）設PQ∩平面EFGH=N，連接PC，設PC∩EF=M，△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，CQ∥MN，由此能證明PQ被平面EFGH平分．

解答： 證明：（1）∵E，F(xiàn)，G，H分別是AC，CB，BD，DA的中點，
∴EH∥CD，F(xiàn)G∥CD，
∴EH∥FG，因此，E，F(xiàn)，G，H共面，
∵EH∥CD，CD?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH．
（2）設PQ∩平面EFGH=N，連接PC，設PC∩EF=M，
△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，
∵CQ∥平面EFGH，CQ?平面PCQ，
∴CQ∥MN，
∵EF是△ABC是的中位線，
∴M是PC的中點，則N是PQ的中點，
∴PQ被平面EFGH平分．

點評：本題考查E、F、G、H共面且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH的證明，考查PQ被平面EFGH平分的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．