Question

7．某高中畢業(yè)學年，在高校自主招生期間，把學生的平時成績按“百分制”折算，排出前100名學生，并對這100名學生按成績分組（從低到高依次分為第1組、第2組、第3組、第4組、第5組），其頻率分布直方圖如圖：現(xiàn)Q大學決定在第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進行面試，且本次面試中有B、C、D三位考官．
（1）若規(guī)定至少獲得兩位考官的認可即面試成功，且面試結(jié)果相互獨立，已知甲同學已經(jīng)被抽中，并且通過這三位考官面試的概率依次為$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，求甲同學面試成功的概率；
（2）若Q大學決定在這6名學生中隨機抽取3名學生接受考官B的面試，設(shè)第4組中有ξ名學生被考官B面試，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件及相互獨立事件的概率公式求解；
（2）由圖得到每一組學生的人數(shù)，由分層抽樣求得第三、四、五組分別抽取的人數(shù)，可得ξ的取值情況，求出概率，得到分布列，再由期望公式求得期望．

解答 解：（1）設(shè)事件A=甲同學測試成功．
則P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{7}{24}$；
（2）∵總?cè)藬?shù)為100人，由直方圖可知，第一組人數(shù)為15人，第二組人數(shù)為25人，第三組人數(shù)為30人，
第四組人數(shù)為20人，第五組人數(shù)為10人，第三、四、五組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進行面試，
則第三、四、五組分別抽取3人、2人、1人，
由題意得ξ=0、1、2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$，P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{3}{5}$，P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$．
分布列為

ξ	0	1	2
p	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

Eξ=0×$\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$．

點評 本題考查離散型隨機變量的期望與方差，考查學生讀取圖表的能力，是中檔題．