Question

設(shè)f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求x₂，x₃，x₄的值；
（Ⅱ）歸納{x_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)設(shè)f(x)=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），分別令n=2，3，4時(shí)，代入已知條件即可求得結(jié)果；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，可以歸納出{x_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法①驗(yàn)證n=1成立，②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答：解：（Ⅰ）x2=f(x1)=

2

3

，
x3=f(x2)=

2× 2 3

2 3 +2

=

1

2

=

2

4

，
x4=f(x3)=

2× 1 2

1 2 +2

=

2

5

．
（Ⅱ）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以歸納出 xn=

2

n+1

．
當(dāng)n=1時(shí)，x1=

2

1+1

=1，與已知相符，歸納出的公式成立．
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，公式成立，即xk=

2

k+1

，
那么，xk+1=

2xk

xk+2

=

2× 2 k+1

2 k+1 +2

=

4

2k+4

=

2

(k+1)+1

．
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立．
綜上，xn=

2

n+1

對(duì)于任何n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè)，化為n=k的形式，是數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的核心和關(guān)鍵．