設(shè)f(x)=lnx.
(1)設(shè)F(x)=f(x+2)-
2xx+1
,求F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4對任意a∈[-1,1],x∈[0,1]恒成立,求m的取值范圍.
分析:(1)由f(x)=lnx.F(x)=f(x+2)-
2x
x+1
,可得F(x)的解析式,及定義域,利用導(dǎo)數(shù)法,分別判斷F'(x)在各個(gè)區(qū)間上的符號,即可得到F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)根據(jù)對數(shù)函數(shù)f(x)=lnx的單調(diào)性,可將不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化為ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4,即ln
x+1
2x+1
≤3ma+4-m2
,求出y=ln
x+1
2x+1
(x∈[0,1])
的最大值為0,結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì),可以構(gòu)造關(guān)于m的不等式組,解不等式組可得m的取值范圍.
解答:解:(1)F(x)=ln(x+2)-
2x
x+1
,定義域?yàn)椋海?2,-1)∪(-1,+∞).F′(x)=
1
x+2
-
2(x+1)-2x
(x+1)2
=
1
x+2
-
2
(x+1)2
=
(x+1)2-2(x+2)
(x+2)(x+1)2
=
x2-3
(x+2)(x+1)2

令F'(x)>0,得單調(diào)增區(qū)間(-2,-
3
)
(
3
,+∞),
令F'(x)<0,得單調(diào)增區(qū)間(-
3
,-1)和(-1,
3
)

(2)等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化為ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4,ln
x+1
2x+1
≤3ma+4-m2

現(xiàn)在只需求y=ln
x+1
2x+1
(x∈[0,1])
的最大值和y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])的最小值.
x+1
2x+1
=
1
2
+
1
2(2x+1)
在[0,1]上單調(diào)遞減,所以y=ln
x+1
2x+1
(x∈[0,1])
的最大值為0.
而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是關(guān)于a的一次函數(shù),
故其最小值只能在x=-1或x=1處取得于是得到
m2+3m-4≤0
m2-3m-4≤0
,
-4≤m≤1
-1≤m≤4
,
所以m的取值范圍是:[-1,1].
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,其中熟練掌握導(dǎo)函數(shù)值符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,是解答本題的關(guān)鍵.
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(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)討論g(x)與g(
1
x
)
的大小關(guān)系;
(Ⅲ)求a的取值范圍,使得g(a)-g(x)<
1
a
對任意x>0成立.

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(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值.  
(2)討論g(x)與g(
1
x
)
的大小關(guān)系.
(3)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<
1
x
對任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范圍,若不存在,請說明理由.

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設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x)
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間及極小值.
(2)討論g(x)與g(
1x
)
的大小關(guān)系.

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