Question

中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線y=

3

x，且焦距為4過雙曲線的左焦點F₁作傾斜角為

π

6

的弦AB．
（1）求雙曲線的標(biāo)準方程；
（2）求線段AB的長；
（3）設(shè)F₂為右焦點，求△F₂AB的周長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的標(biāo)準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，求出漸近線方程，由題意可得，c=2，b=

3

a，由a，b，c的關(guān)系，解除a，b，即可得到雙曲線方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程，代入雙曲線方程，解得方程的兩根，再由弦長公式，計算即可得到；
（3）求出A，B的坐標(biāo)，由兩點的距離，即可得到△F₂AB的周長．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
則漸近線方程為y=±

b

a

x，
由題意可得，c=2，b=

3

a，
由a²+b²=c²，解得，a=1，b=

3

，
即有雙曲線方程為x²-

y2

3

=1；
（2）由于F₁（-2，0），設(shè)直線AB：y=

3

3

（x+2），
代入雙曲線方程，消去y，得，4x²+4x-5=0，
解得x=

-1± 6

2

，
由弦長公式得|AB|=

1+ 1 3

|x₁-x₂|=

2 3

3

×|

2 6

2

|=2

2

；
（3）由于F₂（2，0），A（

-1- 6

2

，

3 - 2

2

），B（

-1+ 6

2

，

3 + 2

2

），
則△F₂AB的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=2

2

+

( -5- 6 2 )2+( 3 - 2 2 )2

+

( -5+ 6 2 )2+( 3 + 2 2 )2

=2

6

．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．