Question

已知直線ax+by-1=0（a，b不全為0）與圓x²+y²=50有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線有（ ）
A．66條
B．72條
C．74條
D．78條

Answer 1

【答案】分析：先考慮在第一象限找出圓上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有3個(gè)，依圓的對(duì)稱性知，圓上共有3×4=12個(gè)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，經(jīng)過其中任意兩點(diǎn)的割線有12個(gè)點(diǎn)任取2點(diǎn)確定一條直線，利用計(jì)數(shù)原理求出直線的總數(shù)，過每一點(diǎn)的切線共有12條，又考慮到直線ax+by-1=0不經(jīng)過原點(diǎn)，如圖所示上述直線中經(jīng)過原點(diǎn)的有6條，所以滿足題意的直線利用總數(shù)減去12，再減去6即可得到滿足題意直線的條數(shù)．
解答：解：當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，圓上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有（1，7）、（5，5）、（7，1），
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

根據(jù)圓的對(duì)稱性得到圓上共有3×4=12個(gè)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，
經(jīng)過其中任意兩點(diǎn)的割線有C₁₂²=66條，過每一點(diǎn)的切線共有12條，
上述直線中經(jīng)過原點(diǎn)的有6條，如圖所示，
則滿足題意的直線共有66+12-6=72條．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用．根據(jù)對(duì)稱性找出滿足題意的圓上的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解本題的關(guān)鍵．