Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$-x，對?x∈（0，1），有f（x）•f（1-x）≥1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為a≥1或a$≤-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 化簡所求f（x）•f（1-x）≥1為$\frac{{a}^{2}}{x（1-x）}$+x（1-x）-a（$\frac{x}{1-x}+\frac{1-x}{x}$）-1≥0，利用換元法設令x（1-x）=t（0＜t$≤\frac{1}{4}$），即有t²+（2a-1）t+a²-a≥0，
構(gòu)造函數(shù)，利用一元二次函數(shù)對稱性的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$-x，
f（x）•f（1-x）≥1即為（$\frac{a}{x}$-x）（$\frac{a}{1-x}$-1+x）≥1，
則$\frac{{a}^{2}}{x（1-x）}$+x（1-x）-a（$\frac{x}{1-x}+\frac{1-x}{x}$）-1≥0，
令x（1-x）=t（0＜t$≤\frac{1}{4}$），
則上式即為$\frac{{a}^{2}}{t}$+t-a$•\frac{1-2t}{t}$-1≥0，
即有t²+（2a-1）t+a²-a≥0，
令f（t）=t²+（2a-1）t+a²-a（0＜t$≤\frac{1}{4}$），
對稱軸t=$\frac{1}{2}$-a，若a$≥\frac{1}{2}$，則區(qū)間（0，$\frac{1}{4}$]為增，
則f（0）≥0，即有a²-a≥0，解得a≥1；
若$\frac{1}{2}$-a$≥\frac{1}{4}$即a$≤\frac{1}{4}$，則區(qū)間（0，$\frac{1}{4}$]為減，
則f（$\frac{1}{4}$）≥0，即16a²-8a-3≥0，解得a$≥\frac{3}{4}$或a$≤-\frac{1}{4}$
則有a$≤-\frac{1}{4}$；
若0＜$\frac{1}{2}$-a≤$\frac{1}{4}$，則有f（$\frac{1}{2}$-a）≥0，
即有$\frac{-（2a-1）^{2}+4（{a}^{2}-a）}{4}$≥0，解得，a∈∅．
綜上可得，a≥1或a$≤-\frac{1}{4}$．
故答案為：a≥1或a$≤-\frac{1}{4}$．

點評 本題考查不等式恒成立問題，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性和運用，考查分類討論的思想方法，構(gòu)造函數(shù)，利用換元法進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．