3.已知橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1(常數(shù)a>1),過點A(-a,0)且以t為斜率的直線與橢圓E交于點B,直線BO交橢圓E于點C(O坐標原點).
(1)求以t為自變量,△ABC的面積S(t)的函數(shù)解析式;
(2)若$a=2,t∈[{\frac{1}{2},1}]$,求S(t)的最大值.

分析 (1)由題意可知:設直線AB的方程為:y=t(x+a),代入橢圓方程,求得(a2t2+1)y2-2aty=0,即可求得B的縱坐標,由三角形的面積公式可知:$S(t)={S_{△ABC}}=2{S_{△AOB}}=|{OA}|•{y_B}=\frac{{2{a^2}t}}{{{a^2}{t^2}+1}}({t>0,a>1})$;
(2)由(1)可知:當a=2時,$S(t)=\frac{8t}{{4{t^2}+1}}=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}$,由$t∈[{\frac{1}{2},1}]$,根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可知$4t+\frac{1}{t}≥2\sqrt{4t•\frac{1}{t}}=4$,即可求得S(t)的最大值.

解答 解:(1)由題意可知:過點A(-a,0)且以t為斜率的直線與橢圓E交于點B,設直線AB的方程為:y=t(x+a),
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=t({x+a})}\\{\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$,整理得:(a2t2+1)y2-2aty=0,
∴y=0或$y=\frac{2at}{{{a^2}{t^2}+1}}$,則點B的縱坐標為${y_B}=\frac{2at}{{{a^2}{t^2}+1}}$,
∴$S(t)={S_{△ABC}}=2{S_{△AOB}}=|{OA}|•{y_B}=\frac{{2{a^2}t}}{{{a^2}{t^2}+1}}({t>0,a>1})$.
(2)當a=2時,$S(t)=\frac{8t}{{4{t^2}+1}}=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}$,
∵$t∈[{\frac{1}{2},1}]$,
∴$4t+\frac{1}{t}≥2\sqrt{4t•\frac{1}{t}}=4$,
當且僅當$4t=\frac{1}{t},t=\frac{1}{2}$時,上式等號成立,
∴$S(t)=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}≤\frac{8}{4}=2$,
即S(t)的最大值S(t)max=2.

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關系,考查焦點三角形的面積公式與基本不等式的綜合應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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