Question

15．設(shè)F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點，雙曲線兩漸近線分別為l₁，l₂，過點F作直線1₁的垂線，分別交l₁l₂于A，B兩點，若A，B兩點均在x軸的上方且|0A|=3，|OB|=5，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），求出雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立FA的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），求得A，B的坐標，運用兩點的距離公式，可得a，c，運用離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F（c，0），雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為l₁：y=$\frac{a}$x，
l₂：y=-$\frac{a}$x，
由題意可得FA的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立直線l₁，可得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
聯(lián)立直線l₂，可得B（$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$），
|OA|=$\sqrt{\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}+\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}$=a$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}}$=a=3，
|OB|=$\sqrt{\frac{{c}^{2}{a}^{4}+{a}^{2}^{2}{c}^{2}}{（{a}^{2}-^{2}）^{2}}}$=$\frac{3{c}^{2}}{|9-^{2}|}$=5，
又9+b²=c²，解得c=3$\sqrt{5}$或$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程和垂線方程聯(lián)立，求交點，考查兩點的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．