Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-x．
（I）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=af（x）+（a+1）g（x），其中0＜a≤1，證明：函數(shù)h（x）僅有一個零點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)的導數(shù)求出切線的斜率，將x=1代入，求得y=$-\frac{1}{2}$，（Ⅱ）利用導數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（Ⅲ），先將h（x）寫出，進行化簡，求得h（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，利用零點定理，判斷h（x）有一個零點．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，（x＞0）f′（x）=$\frac{1}{x}$-x，
在x=1處的切線方程的斜率為k=f′（1）=0，
∴求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程y=$-\frac{1}{2}$，
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-x，令f′（x）=0，
得x=1，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞），
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（Ⅲ）證明：h（x）=af（x）+（a+1）g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+alnx-（a+1）x，（x＞0）
∴h′（x）=x-（a+1）+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$-（a+1），
當且僅當x=$\frac{a}{x}$，x=$\sqrt{a}$，
設(shè)g（x）=2$\sqrt{a}$-（a+1）
g′（x）=$\frac{1}{\sqrt{a}}-1$，0＜a≤1，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當a=1取最大值，最大值為0，
∴h′（x）＞0，
∴h（x）單調(diào)遞增，
h（a）=$-\frac{{a}^{2}}{2}-a+alna$0＜a≤1
∴h（a）＜0，
當x＞1時，h（x）＞0，利用零點定理，
∴函數(shù)h（x）僅有一個零點．

點評 本題考查根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的切線方程和單調(diào)區(qū)間及判斷函數(shù)的零點，屬于中檔題．