Question

2．已知：拋物線m：y²=2px焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓F過(guò)原點(diǎn)O，過(guò)F引斜率為k的直線與拋物線m和圓F從上至下順次交于A、B、C、D．若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=4．
（1）求拋物線方程．
（2）當(dāng)為k何值時(shí)，△AOB、△BOC、△COD的面積成等差數(shù)列；
（3）設(shè)M為拋物線上任一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為H．在圓F上是否存在點(diǎn)N，使|MH|-|MN|的最大值，若存在，求出|MH|-|MN|的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程求得焦點(diǎn)，即可求得圓心與半徑，設(shè)的直線AD的方程，根據(jù)拋物線的定義，及直線與拋物線的位置關(guān)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得p的值，求得拋物線方程；
（2）根據(jù)三角形的面積公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得x_A+x_D，利用拋物線弦長(zhǎng)公式即可求得弦長(zhǎng)丨AD丨，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦與直線斜率的關(guān)系，即可求得直線AD斜率，
方法二：由拋物線焦點(diǎn)弦與直線傾斜角的關(guān)系，即可求得直線AD的傾斜角，即可求得直線AD的斜率k；
（3）由定義|MH|-|MN|=|MF|-|MN|≤|NF|=4，存在點(diǎn)N，使|MH|-|MN|的取得最大值為4．

解答 解：（1）由題意拋物線m：y²=2px焦點(diǎn)為$F（{\frac{p}{2}，0}）$，$r=\frac{p}{2}$；
直線AD為$y=k（{x-\frac{p}{2}}）$$|{AB}|=|{AF}|-|{BF}|=（{{x_A}+\frac{p}{2}}）-r={x_A}$，
$|{CD}|=|{DF}|-|{CF}|=（{{x_D}+\frac{p}{2}}）-r={x_D}$
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{y=k（{x-\frac{p}{2}}）}\end{array}}\right.$，得${k^2}{x^2}-（{{k^2}+2}）px+\frac{{{p^2}{k^2}}}{4}=0$
由違達(dá)定理得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_A}+{x_D}=（{\frac{2}{k^2}+1}）p}\\{{x_A}•{x_D}=\frac{p^2}{4}}\end{array}}\right.$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}={x_A}{x_D}=\frac{p^2}{4}=4⇒p=4$
∴拋物線方程y²=8x…（5分）
（2）∵由△AOB、△BOC、△COD的面積成等差數(shù)列，
即2S_△BOC=2S_△AOB+2S_△COD，由三角形的面積公式可知：2丨BC丨=丨AB丨+丨CD丨，
∴$|{BC}|=\frac{{|{AB}|+|{CD}|}}{2}=4⇒{x_A}+{x_D}=8$，則弦長(zhǎng)|AD|=x_A+x_D+p=8+4=12，
方法一：$（{\frac{2}{k^2}+1}）p=8$，
∴${k^2}=2⇒k=±\sqrt{2}$…（9分）
方法二：丨AD丨=$\frac{p}{1-cosθ}$+$\frac{p}{1+cosθ}$=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=12，
則sin²θ=$\frac{2}{3}$，則cos²θ=$\frac{1}{3}$，
tan²θ=2，則tanθ=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\sqrt{2}$，
（3）由定義|MH|-|MN|=|MF|-|MN|≤|NF|=4，
∴存在點(diǎn)N，使|MH|-|MN|的取得最大值為4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，焦點(diǎn)弦與直線斜率與傾斜角的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．