Question

（2013•萊蕪二模）某工廠為擴大生產(chǎn)規(guī)模，今年年初新購置了一條高性能的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線在使用過程中的維護費用會逐年增加，第一年的維護費用是4萬元，從第二年到第七年，每年的維護費用均比上年增加2萬元，從第八年開始，每年的維護費用比上年增加25%
（I）設(shè)第n年該生產(chǎn)線的維護費用為a_n，求a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)該生產(chǎn)線前n年維護費為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意可得當(dāng)n≤7時，{a_n}組成以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n＞7時，{a_n}組成以a₇=16為首項，1+25%=

5

4

為公差的等比數(shù)列，從而可求a_n
（II）利用（I）的結(jié)論，結(jié)合等差（等比）數(shù)列的求和公式，由此即可求得該生產(chǎn)線前n年維護費．

解答：解：（I）由題意知，當(dāng)n≤7時，{a_n}組成以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n+2，
當(dāng)n＞7時，{a_n}組成以a₇=16為首項，1+25%=

5

4

為公差的等比數(shù)列，
∴a_n=16×(

5

4

)n-7，
∴a_n=

2n+2，n≤7 16•( 5 4 )n-7，n≥8

；
（II）當(dāng)n≤7時，S_n=4n+

n(n-1)

2

×2=n²+3n，
當(dāng)n＞7時，S_n=70+16×

5

4

×

1-( 5 4 )n-7

1- 5 4

=80×(

5

4

)n-7-10．
∴該生產(chǎn)線前n年維護費為S_n=

n2+3n，n≤7 80•( 5 4 )n-7-10，n≥8

．

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查分段函數(shù)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列模型，屬于中檔題．