Question

5．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁作直線l交橢圓于A，B兩點，求證：$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$為定值．

Answer 1

分析 當(dāng)直線l的斜率不存在時，求得$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{2a}{^{2}}$；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+c），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B兩點橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合焦半徑公式證明$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{2a}{^{2}}$得答案．

解答 證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線方程為x=-c，
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{2a}{^{2}}$；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+c），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y得，（b²+a²k²）x²+2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{1}{a+e{x}_{1}}+\frac{1}{a+e{x}_{2}}$=$\frac{2a+e（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}+ae（{x}_{1}+{x}_{2}）+{e}^{2}{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2a+\frac{c}{a}•\frac{-2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}{{a}^{2}+c•\frac{-2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{2a^{2}（1+{k}^{2}）}{^{4}（1+{k}^{2}）}=\frac{2a}{^{2}}$．
綜上，$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$為定值$\frac{2a}{^{2}}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了焦半徑公式的應(yīng)用考查計算能力，是中檔題．