Question

【題目】如圖,四棱柱中,底面是等腰梯形, ,,是線段的中點(diǎn),平面.

(1)求證:平面；

(2)若,求平面和平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】分析：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可通過(guò)線面垂直的判定方法證得平面；

（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，即可求得答案.

詳解：(1)證明方法一: 連接，因?yàn)榈酌?/span>是等腰梯形且

所以，，又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

因此，且，

所以，且，

又因?yàn)?/span>且，

所以，

因?yàn)椋?/span>平面，

所以平面，

所以，平面平面，

在平行四邊形中，因?yàn)?/span>,

所以平行四邊形是菱形，

因此，

所以平面.

解法二：底面是等腰梯形，,,

所以，，

因此，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,，

由得，

所以,,,，

因此，且，

所以且，

所以，平面.

(2)底面是等腰梯形，,,

所以，，

因此，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,，

所以，,，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

由得，

由是平面的法向量，

因此，

平面和平面所成的銳二面角的余弦值是.