Question

19．直線ax-y-2a+1=0，被圓C：x²+y²-10x+6y-15=0截得的最短弦長(zhǎng)是4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用配方法將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，判斷出直線l過定點(diǎn)且在圓內(nèi)，當(dāng)l⊥PC時(shí)直線l被圓截得的弦最短，由弦長(zhǎng)公式求出即可

解答 解：直線ax-y-2a+1=0可化為a（x-2）-y+1=0，
該直線過定點(diǎn)P（2，1），且P在圓內(nèi)，
圓C：x²+y²-10x+6y-15=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：
（x-5）²+（y+3）²=49，圓心C（5，-3）；
則|PC|=$\sqrt{{（5-2）}^{2}{+（-3-1）}^{2}}$=5，
當(dāng)直線與PC垂直時(shí)，直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，
最短弦長(zhǎng)是|AB|=2×$\sqrt{{r}^{2}{-PC}^{2}}$=2×$\sqrt{49{-5}^{2}}$=4$\sqrt{6}$．
故答案為：4$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線過圓內(nèi)定點(diǎn)時(shí)所解得弦長(zhǎng)問題，以及配方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．