Question

（本小題滿分13分）已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為和，且||=2，點(diǎn)（1，）在該橢圓上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的面積為，求以 為圓心且與直線相切圓的方程．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)閨|=2，所以.又點(diǎn)（1，）在該橢圓上，所以根據(jù)橢圓的定義可求出的值，從而求出.（2）首先應(yīng)考慮直線⊥x軸的情況，此時(shí)A（-1，-），B（-1，），AB的面積為3，不符合題意．當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，.設(shè)直線的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得：，用弦長(zhǎng)公式可得|AB|= ，用點(diǎn)到直線的距離公式可得 圓的半徑r=，這樣根據(jù)題中所給面積可求出的值，從而求出半徑，進(jìn)而得到圓的方程為．

試題解析：（1）因?yàn)閨|=2，所以.

又點(diǎn)（1，）在該橢圓上，所以．

所以.

所以橢圓C的方程為 ．．（4分）

（2）①當(dāng)直線⊥x軸時(shí)，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面積為3，不符合題意．

（6分）

②當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得：

，

顯然＞0成立，設(shè)A，B，則

，，

可得|AB|= ．．（9分）

又圓的半徑r=，

∴AB的面積=|AB| r==，

化簡(jiǎn)得：17+-18=0，得k=±1，

∴r =，圓的方程為 ．．（13分）

考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.