Question

已知曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

(θ為參數(shù)），F(xiàn)為曲線C的右焦點．過點M（0，1）作直線l交曲線C于A，B兩點．若

1

|AM|2

，

1

|FM|2

，

1

|BM|2

成等差數(shù)列．
（1）求|FM|的值；
（2）求

S△AFM

S△BFM

的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）化橢圓的參數(shù)方程為普通方程，求出焦點坐標(biāo)，由兩點間的距離公式求|FM|的值；
（2）設(shè)出直線AB的參數(shù)方程

x=tcosθ y=1+tsinθ

，代入橢圓方程化為關(guān)于t的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到t₁，t₂的和與積，結(jié)合

1

|AM|2

，

1

|FM|2

，

1

|BM|2

成等差數(shù)列列式求得sin2θ=

1

5

，cos2θ=

4

5

，進一步求出t₁，t₂的值，把三角形的面積比轉(zhuǎn)化為直線參數(shù)的絕對值的比得答案．

解答： 解：（1）由

x=2cosθ y= 3 sinθ

(θ為參數(shù)），得

x2

4

+

y2

3

=1，
∴c²=4-3=1，c=1．
∴F（1，0），
∵M（0，1），
∴|FM|=

2

；
（2）設(shè)直線AB的方程為

x=tcosθ y=1+tsinθ

，代入

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3cos²θ+4sin²θ）t²+8tsinθ-8=0．
則t1+t2=-

8sinθ

3cos2θ+4sin2θ

，t1t2=-

8

3cos2θ+4sin2θ

．
由

1

|AM|2

，

1

|FM|2

，

1

|BM|2

成等差數(shù)列，得

1

|AM|2

+

1

|BM|2

=

2

|FM|2

=1，
即

t12+t22

t12t22

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=1，
代入根與系數(shù)關(guān)系求得sin2θ=

1

5

，cos2θ=

4

5

．
∴

t1+t2=- 5 2 t1t2=- 5 2

，
解得：t1=

5

2

，t2=-

5

或t2=

5

2

，t1=-

5

．
∴

S△AFM

S△BFM

=

|t1|

|t2|

=1：2或

S△AFM

S△BFM

=

|t1|

|t2|

=2：1．

點評：本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了學(xué)生的計算能力，是壓軸題．