Question

4．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點．
（1）求橢圓的標準方程以及m的取值范圍；
（2）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據題意，將M點代入即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程，求得直線l的方程，代入橢圓方程，由△＞0即可求得m的取值范圍；
（2）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可，根據直線的斜率公式及韋達定理即可求得答案．

解答 解：（1）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），且a=2b，
橢圓經過點M（2，1），則$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，解得：a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（3分）
∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m  又k_OM=$\frac{1}{2}$，
∴l(xiāng)的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：x²+2mx+2m²-4=0，…（4分）
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得：-2＜m＜0或0＜m＜2，
∴m的取值范圍是（-2，0）∪（0，2）；…（6分）
（2）證明：設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
要證直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．只需證明k₁+k₂=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+m，則k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：x²+2mx+2m²-4=0
∴x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
而k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
其分子=（$\frac{1}{2}$x₁+m-1）（x₂-2）+（$\frac{1}{2}$x₂+m-1）（x₁-2）
=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）=2m²-4-2m（m-2）-4m+4=0，
∴k₁+k₂=0．
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理、斜率計算公式、等腰三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．