Question

18．（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；
（2）已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）由扇形的面積公式及周長公式建立方程組，解方程即可求出．
（2）設扇形的半徑和弧長分別為r和l，可得2r+l=40，扇形的面積S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•l•2r，由基本不等式可得．

解答 解：（1）設扇形的弧長為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，
由題意可得：2r+l=10，$\frac{1}{2}$×l×r=4，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{r=4}\\{l=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=1}\\{l=8}\end{array}\right.$．
故扇形中心角的弧度數(shù)為$α=\frac{l}{r}$=$\frac{1}{2}$，或8（由于8＞2π，舍去）．
（2）設扇形的半徑和弧長分別為r和l，
由題意可得2r+l=40，
∴扇形的面積S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•l•2r≤$\frac{1}{4}$（$\frac{l+2r}{2}$）2=100，
當且僅當l=2r=20，即l=20，r=10時取等號，
此時圓心角為α=$\frac{l}{r}$=2，
∴當半徑為10圓心角為2時，扇形的面積最大，最大值為100．

點評 本題考查扇形的面積公式及周長公式，考查基本不等式，屬基礎題．