Question

13．已知F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點．若橢圓C上存在點P，使得線段PF₁的中垂線恰好過焦點F₂，則橢圓C離心率的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，1）
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1．則線段PF₁的中點M$（\frac{{x}_{0}-c}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．由于線段PF₁的中垂線恰好過焦點F₂，可得${k}_{P{F}_{1}}{k}_{{F}_{2}M}$=-1，化簡解得x₀=$\frac{{a}^{2}-2ac}{c}$，利用-a≤x₀≤a，解出即可得出．

解答 解：設P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1．
則線段PF₁的中點M$（\frac{{x}_{0}-c}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．
∵線段PF₁的中垂線恰好過焦點F₂，
∴${k}_{P{F}_{1}}{k}_{{F}_{2}M}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$•$\frac{\frac{{y}_{0}}{2}-0}{\frac{{x}_{0}-c}{2}-c}$=-1，
化為：$\frac{{y}_{0}^{2}}{（{x}_{0}+c）（{x}_{0}-3c）}=-1$，
∴$^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$+（x₀+c）（x₀-3c）=0，
化為：${c}^{2}{x}_{0}^{2}$-2a²cx₀+b²a²-3a²c²=0，
解得x₀=$\frac{{a}^{2}-2ac}{c}$，
由于-a≤x₀≤a，
∴-a≤$\frac{{a}^{2}-2ac}{c}$≤a，又0＜e＜1，
解得$\frac{1}{3}≤e$＜1．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關系、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．