Question

16．已知圓C：x²+y²-2x-4y-20=0，直線l：（2m-1）x+（m+1）y-6m-4=0．
（1）求證：直線l與圓C相交；
（2）計(jì)算直線l被圓C截得的最短的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由直線方程可知直線過(guò)定點(diǎn)，證明直線與圓相交只需證明直線過(guò)的定點(diǎn)在圓的內(nèi)部；（2）相交弦長(zhǎng)最短時(shí)圓心到直線的距離最大，結(jié)合圖形可知此距離為直線過(guò)的定點(diǎn)與圓心的距離，求得距離后利用弦長(zhǎng)的一半，距離，圓的半徑構(gòu)成的直角三角形求弦長(zhǎng)．

解答 （1）證明：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-2）²=25，圓心（1，2）半徑r=5；
直線l：（2m-1）x+（m+1）y-6m-4=0
當(dāng)m+1≠0時(shí)，直線L可轉(zhuǎn)換為：y-$\frac{14}{3}$=$\frac{1-2m}{m+1}$（x-$\frac{2}{3}$）；
當(dāng)m+1=0時(shí)，直線L為：x=$\frac{2}{3}$
∴直線L恒過(guò)定點(diǎn)M（$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$）
∵（$\frac{2}{3}$-1）²+（$\frac{14}{3}$-2）²＜25，
所以點(diǎn)M在圓內(nèi)部，則直線與圓必相交．
解：（2）當(dāng)CM垂直弦AB時(shí)，弦長(zhǎng)最短，設(shè)弦長(zhǎng)為x．
（CM）²=（1-$\frac{1}{3}$）²+（2-$\frac{14}{3}$）²；
（$\frac{x}{2}$）²=25-（CM）²；
∴x=$\frac{8\sqrt{10}}{3}$
故最短弦長(zhǎng)為：$\frac{8\sqrt{10}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題以及直線與圓位置關(guān)系的判定，屬基礎(chǔ)題型．