Question

1．已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是$（-\frac{1}{2}，0）$，$（\frac{1}{2}，0）$，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是-1．
（1）過(guò)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線l₁、l₂分別交曲線C于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是-1，建立方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）先求出四邊形ABCD的面積，再利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）令M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），直線AM的斜率${k_1}=\frac{y}{{x+\frac{1}{2}}}$，直線BM的斜率${k_2}=\frac{y}{{x-\frac{1}{2}}}$，
因?yàn)橹本�AM的斜率與直線BM的斜率的差是-1，所以有${k_1}-{k_2}=\frac{y}{{x+\frac{1}{2}}}-\frac{y}{{x-\frac{1}{2}}}=\frac{-y}{{{x^2}-\frac{1}{4}}}=-1$，
化簡(jiǎn)得到點(diǎn)M的軌跡C方程為$y={x^2}-\frac{1}{4}（x≠±\frac{1}{2}）$…（5分）
（2）由題意知，直線l₁，l₂的斜率存在且不為零，
設(shè)直線l₁的斜率為k₁，則直線l₁的方程為y=k₁x．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}x}\\{y={x^2}-\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$得${x^2}-{k_1}x-\frac{1}{4}=0$，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，
于是x₁+x₂=k₁，${x_1}{x_2}=-\frac{1}{4}$，
則$|{AC}|=\sqrt{（1+k_1^2）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{（1+k_1^2）（k_1^2+1）}=1+k_1^2$，
又直線l₂的斜率為$-\frac{1}{k_1}$，可得$|{BD}|=1+\frac{1}{k_1^2}$…（9分）
所以${S_{四邊形ABCD}}=\frac{1}{2}|{AC}|•|{BD}|=\frac{1}{2}（1+k_1^2）（1+\frac{1}{k_1^2}）=\frac{1}{2}（k_1^2+\frac{1}{k_1^2}+2）≥\frac{1}{2}（2\sqrt{k_1^2•\frac{1}{k_1^2}}+2）=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$k_1^2=\frac{1}{k_1^2}$即k₁=±1，四邊形ABCD的面積有最小值為2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法和求四邊形ABCD面積的最小值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用．