Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

6

，a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

•

1

3n

（n∈N⁺，n≥2）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+

1

3n

}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）原式轉(zhuǎn)化為a_n+

1

3n

=

1

2

（a_n-1+

1

3n-1

），再求出a₁+

1

3

=

1

2

，繼而得以證明，
（2）由（1）可知a_n+

1

3n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，整理化簡得到a_n=(

1

2

)n-

1

3n

=

1

2n

-

1

3n

，需要驗(yàn)證a₁成立

解答： 解：（1）證明∵a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

•

1

3n

，
∴a_n+

1

3n

=

1

2

（a_n-1+

1

3n-1

），
∴a₁+

1

3

=

1

6

+

1

3

=

1

2

，
故數(shù)列{a_n+

1

3n

}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知a_n+

1

3n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
所以a_n=(

1

2

)n-

1

3n

=

1

2n

-

1

3n

，
驗(yàn)證a₁=

1

2

-

1

3

=

1

6

成立，
故以a_n=

1

2n

-

1

3n

．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題