Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx
（1）當a=b=

1

2

時，求f（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）+

1

2

ax²+bx+

a

x

（0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求a實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=b=

1

2

時，f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的最大值．
（2）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，由已知得a≥（-

1

2

x02+x0）_max，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx，
∴f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=b=

1

2

時，f（x）=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，
f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

，
令f′（x）=0，解得x=1或x=-2（舍），
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）的極大值為f(1)=-

3

4

，
∴f（x）的最大值為f（1）=-

3

4

．
（2）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，
則k=F′（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

在（0，3]上恒成立，
∴a≥（-

1

2

x02+x0）_max，
當x₀=1時，-

1

2

x02+x0取得最大值

1

2

，
∴a≥

1

2

．

點評：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)和導數(shù)的幾何意義的合理運用．