Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上且平面，在延長(zhǎng)線上，，交于，且

(1)證明：平面；

(2)設(shè)點(diǎn)在線段上，若二面角為，求的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(2)．

【解析】

(1) 要證平面，只需證明平行于平面內(nèi)一條直線即可，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，可證四邊形為平行四邊形，從而可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；

(2) 取的中點(diǎn)，連結(jié)，可證平面，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建系，設(shè)，求出平面的法向量及平面的法向量，根據(jù)二面角為，利用夾角公式列出方程即可求出,進(jìn)而可求出的長(zhǎng)度．

(1)證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，且，

因?yàn)?/span>，交于，且，

又因?yàn)?/span>，所以，，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(2)由平面，平面，

所以，又，和在平面內(nèi)顯然相交，

所以平面，又平面，

所以平面平面，

取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?/span>，所以，

又平面平面，平面，所以平面，

在等腰中，，

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則，，，，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，

設(shè)，設(shè)平面的一個(gè)法向量，

，，

由，得，令，得，，

所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

所以，

因?yàn)槎�面�?/span>為，所以，

即，解得，

所以.