Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1），則a的最小值是（　　）

• A、

  3

  2

• B、1
• C、

  1

  2

• D、2

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進行化簡，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f(log2a)+f(log

1

2

a)≤2f(1)，
等價為f（log₂a）+f（-log₂a）=2f（log₂a）≤2f（1），
即f（log₂a）≤f（1）．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（log₂a）≤f（1）等價為f（|log₂a|）≤f（1）．
即|log₂a|≤1，
∴-1≤log₂a≤1，
解得

1

2

≤a≤1，
故a的最小值是

1

2

，
故選：C

點評：本題主要考查對數(shù)的基本運算以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．