Question

7．已知f₁（x）=sinx+cosx，
f₂（x）=f₁′（x），
f₃（x）=f₂′（x），
…
f_n（x）=f_n-1′（x），…（n∈N^*，n≥2）．
則${f_1}（\frac{π}{4}）+{f_2}（\frac{π}{4}）+…+{f_{2016}}（\frac{π}{4}）$的值為0．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的運算法則可得f_n+4（x）=f_n（x）．n∈N，利用函數(shù)的周期性可知f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=（cosx-sinx）+（-sinx-cosx）+（-cosx+sinx）+（sinx+cosx）=0，即可求得${f_1}（\frac{π}{4}）+{f_2}（\frac{π}{4}）+…+{f_{2016}}（\frac{π}{4}）$=0．

解答 解：∵f（x）=sinx+cosx，
∴f₁（x）=f′（x）=cosx-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-cosx，
f₃（x）=-cosx+sinx，
f₄（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
即f_n（x）是周期為4的周期函數(shù)，
f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=（cosx-sinx）+（-sinx-cosx）+（-cosx+sinx）+（sinx+cosx）=0，
∵2016=504×4
${f_1}（\frac{π}{4}）+{f_2}（\frac{π}{4}）+…+{f_{2016}}（\frac{π}{4}）$=0，
故答案為：0．

點評 本題考查三角函數(shù)的導數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運用，考查導數(shù)的運算，屬于基礎題．