Question

15．已知a，b∈R⁺，$\frac{2}{a}+\frac{3}$=2．求ab的最大值，a+b的最小值，2a+3b的最小值，并取得最值時相應(yīng)的a，b的值．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的性質(zhì)計算即可．

解答 解：∵a，b∈R⁺，$\frac{2}{a}+\frac{3}$=2，
∴3a+2b=2ab≥2$\sqrt{6ab}$，
∴ab≥6，當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b即a=3，b=2時“=”成立；
∵a，b∈R⁺，$\frac{2}{a}+\frac{3}$=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$=1，
∴（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$）=$\frac{5}{2}$+$\frac{3a}{2b}$+$\frac{a}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{3a}{2b}•\frac{a}}$=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)3a²=2b²即a=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，b=$\frac{3+\sqrt{6}}{2}$時“=”成立；
（2a+3b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$）=$\frac{11}{2}$+$\frac{3a}$+$\frac{3b}{a}$≥$\frac{11}{2}$+2$\sqrt{\frac{3a}•\frac{3b}{a}}$=$\frac{23}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b即a=b=$\frac{5}{6}$時“=”成立．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查“1”的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．