(08年銀川一中一模理)  （12分）如圖已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且經(jīng)過點M（2,1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0）,且交橢圓于A、B兩點.

   （1）求橢圓的方程；

   （2）求m的取值范圍；

   （3）求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形。說明理由。

 

解析：（I）設橢圓方程為（a>b>0）

則     ∴橢圓方程

（II） ∵直線∥DM且在y軸上的截距為m，∴y=x+m

由

∵與橢圓交于A、B兩點

∴△=（2m）2-4（2m2-4）>0-2（m≠0）

（Ⅲ）設直線MA、MB斜率分別為k1,k2，則只要證：k1+k2=0

設A（x1,y1）,B（x2,y2）,則k1=,k2=

由x2+2mx+2m2-4=0得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4

而k1+k2=+= （*）

又y1=x1+m  y2=x2+m

∴（*）分子=（x1+m-1）（x2-2）+（ x2+m -1）（x1-2）

=x1x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）

=2m2-4+（m-2）（-m）-4（m-1）

  =0

∴k1+k2=0,證之.

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