Question

10．設(shè)a，b∈R⁺，如果x滿足lg（ax）•lg（bx）+1=0，則$\frac{a}$的取值范圍是（0，$\frac{1}{100}$]∪[100，+∞）．

Answer 1

分析 把已知關(guān)于x的方程變形，利用△≥0配方得到（lga-lgb）²≥4，進(jìn)一步得到$lg\frac{a}≤-2$或$lg\frac{a}≥2$，從而求得$\frac{a}$的取值范圍．

解答 解：由lg（ax）•lg（bx）+1=0，得（lga+lgx）（lgb+lgx）+1=0．
即lg²x+（lga+lgb）lgx+lgalgb+1=0．
由△=（lga+lgb）²-4lgalgb-4=（lga-lgb）²-4≥0，
得$lg\frac{a}≤-2$或$lg\frac{a}≥2$，
∴0$＜\frac{a}≤\frac{1}{100}$或$\frac{a}≥100$．
∴$\frac{a}$的取值范圍是（0，$\frac{1}{100}$]∪[100，+∞）．
故答案為：（0，$\frac{1}{100}$]∪[100，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．