Question

3．一位創(chuàng)業(yè)青年租用了一塊邊長為1百米的正方形田地ABCD來養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的邊BC，CD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)（不與正方形的頂點(diǎn)重合），連接AE，EF，F(xiàn)A，使得∠EAF=45°．現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長區(qū)，△AEF部分規(guī)劃為蜂巢區(qū)，△CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū)．若蜂源植物生長區(qū)的投入約為2×10⁵元/百米²，蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為10⁵元/百米²，則這三個區(qū)域的總投入最少需要多少元？

Answer 1

分析 方法一、設(shè)陰影部分面積為S，三個區(qū)域的總投入為T，可得T=2×10⁵S+10⁵（1-S）=10⁵（S+1），設(shè)∠EAB=α（0°＜α＜45°），由解三角形可得S=$\frac{1}{2}$（tanα+$\frac{1-tanα}{1+tanα}$），令x=tanα∈（0，1），可得S=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{x-1}{x+1}$），變形整理，運(yùn)用基本不等式可得最小值；
方法二、設(shè)陰影部分面積為S，三個區(qū)域的總投入為T．設(shè)∠DAF=α，∠BAE=β（0°＜α，β＜45°），由解三角形可得S=$\frac{1}{2}$（tanα+tanβ），運(yùn)用兩角和的正切公式和基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解法一：設(shè)陰影部分面積為S，三個區(qū)域的總投入為T．
則T=2×10⁵S+10⁵（1-S）=10⁵（S+1），
從而只要求S的最小值．
設(shè)∠EAB=α（0°＜α＜45°）
在△ABE中，因為AB=1，∠B=90°，
所以BE=tanα，
則S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$tanα；
又∠DAF=45°-α，所以S_△ADF=$\frac{1}{2}$tan（45°-α）；
所以S=$\frac{1}{2}$（tanα+tan（45°-α））=$\frac{1}{2}$（tanα+$\frac{1-tanα}{1+tanα}$），
令x=tanα∈（0，1），
則S=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{x-1}{x+1}$）=$\frac{1}{2}$[（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2]≥$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$-2）=$\sqrt{2}$-1．
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{2}{x+1}$，即x=$\sqrt{2}$-1時取等號，
從而三個區(qū)域的總投入T的最小值約為$\sqrt{2}$×10⁵元．
（說明：這里S的最小值也可以用導(dǎo)數(shù)來求解）．
因為S′=$\frac{（x+\sqrt{2}+1）（x-\sqrt{2}+1）}{2（1+x）^{2}}$，則由S′=0，得x=$\sqrt{2}$-1．
當(dāng)x∈（0，$\sqrt{2}$-1）時，S′＜0，S遞減；當(dāng)x∈（$\sqrt{2}$-1，1）時，S′＞0，S遞增．
所以當(dāng)x=$\sqrt{2}$-1時，S取得最小值為$\sqrt{2}$-1．
解法二：設(shè)陰影部分面積為S，三個區(qū)域的總投入為T．
則T=2×10⁵S+10⁵（1-S）=10⁵（S+1），從而只要求S的最小值．
設(shè)∠DAF=α，∠BAE=β（0°＜α，β＜45°），則S=$\frac{1}{2}$（tanα+tanβ），
因為α+β=90°-∠EAF=45°，
所以tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=1，
所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ≥1-（$\frac{tanα+tanβ}{2}$）²，
即2S≥1-S²，解得S≥$\sqrt{2}$-1，即S取得最小值為$\sqrt{2}$-1，
從而三個區(qū)域的總投入T的最小值約為$\sqrt{2}$×10⁵元．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的運(yùn)用：求最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，正確求出函數(shù)解析式和運(yùn)用基本不等式或三角函數(shù)的恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．