Question

5．如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（I）求證：△ABE∽△ADB，并求AB的長；
（II）延長DB到F，使BF=BO，連接FA，那么直線FA與⊙O相切嗎？為什么？

Answer 1

分析 （I）由AB=AC，可得∠ABC=∠C，再利用圓的性質(zhì)可得∠C=∠D，即∠ABC=∠D．進而得到△ABE∽△ADB．利用相似三角形的性質(zhì)即可得出．
（II）直線FA與⊙O相切．分析如下：連接OA．由于BD為⊙O的直徑，可得∠BAD=90°．利用勾股定理可得BD，于是BF=BO=AB．可得∠OAF=90°．即可證明．

解答 解：（I）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$．
AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12．
∴$AB=2\sqrt{3}$．
（II）直線FA與⊙O相切．理由如下：
連接OA．∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD=90°．
∴$BD=\sqrt{A{B^2}+A{D^2}}=\sqrt{12+{{（{2+4}）}^2}}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$．
∵$AB=2\sqrt{3}$，∴BF=BO=AB．
∴∠OAF=90°．∴直線FA與⊙O相切．

點評 本題考查了圓的性質(zhì)、直線與圓相切的判定定理、直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．