Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：對(duì)于區(qū)間[-1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4；
（3）若過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，依題意，f′（1）=f′（-1）=0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x
（2）∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，
f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
∵對(duì)于區(qū)間[-1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|
|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4
（3）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲線(xiàn)方程為y=x³-3x，∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線(xiàn)上．
設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀），切線(xiàn)的斜率為（左邊用導(dǎo)數(shù)求出，右邊用斜率的兩點(diǎn)式求出），
整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
∵過(guò)點(diǎn)A（1，m）可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，故此方程有三個(gè)不同解，下研究方程解有三個(gè)時(shí)參數(shù)所滿(mǎn)足的條件
設(shè)g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，則g′（x₀）=6x₀²-6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的極值點(diǎn)為x₀=0，x₀=1
∴關(guān)于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是，解得-3＜m＜-2．
故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3＜m＜-2．
分析：（1）解析式中有兩個(gè)參數(shù)，故需要得到兩個(gè)方程求參數(shù)，由于函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值，由極值存在的條件恰好可以得到兩個(gè)關(guān)于參數(shù)的兩個(gè)方程，由此解析式易求．
（2）欲證對(duì)于區(qū)間[-1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，可以求出函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最值，若最大值減去最小值的差小于等于4，則問(wèn)題得到證明，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性求最值的問(wèn)題．
（3）由于點(diǎn)A（1，m）（m≠-2），驗(yàn)證知此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，可設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)M（x₀，y₀），然后用兩種方式表示出斜率，建立關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程2x₀³-3x₀²+m+3=0，再借助函數(shù)的單調(diào)性與極值確定其有三個(gè)解的條件即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)極值存在的條件，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)切線(xiàn)的問(wèn)題，本題涉及到了求導(dǎo)公式，求最值的方法，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，綜合性強(qiáng)，難度較大，解題時(shí)注意體會(huì)．