Question

14．已知函數(shù)y=f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求y=f（x）的最大值；
（2）設(shè)實數(shù)a＞0，求函數(shù)F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）令導函數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊的導函數(shù)符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值．
（2）利用（1）的結(jié)論，判斷出函數(shù)的最大值在e處取得；最小值在端點處取得；通過對a的分類討論比較出兩個端點值的大小，求出最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0得x=e．
∵當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上為增函數(shù)，
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，則在（e，+∞）上為減函數(shù)，
∴f_max（x）=f（e）=$\frac{1}{e}$．
（2）∵a＞0，由（1）知：
F（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x）_min=min{F（a），F(xiàn)（2a）}，
∵F（a）-F（2a）=$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，
∴當0＜a≤2時，F(xiàn)（a）-F（2a）≤0，f_min（x）=F（a）=lna．
當a＞2時，F(xiàn)（a）-F（2a）＞0，f（x）_min=f（2a）=$\frac{1}{2}$ln2a．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)符號的關(guān)系、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、分類討論的數(shù)學思想方法．