Question

（文科）已知雙曲線的中點在坐標原點、焦點在x軸上，實軸長為2

3

，漸近線方程為y=±

3

3

x．
（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）求與（Ⅰ）中雙曲線有共同的焦點，且過點（

5

，-

3

）的橢圓方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），由已知得

2a=2 3 b a = 3 3

，由此能求出雙曲線的標準方程．
（Ⅱ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，a＞0，由已知得

5

a2

+

3

a2-4

=1，由此能求出橢圓方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線的中點在坐標原點、焦點在x軸上，
∴設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），
∵實軸長為2

3

，漸近線方程為y=±

3

3

，
∴

2a=2 3 b a = 3 3

，解得a=

3

，b=1，
∴雙曲線的標準方程為

x2

3

-y2=1．
（Ⅱ）∵雙曲線

x2

3

-y2=1的焦點坐標為F₁（-2，0），F₂（2，0）．
∴所求橢圓的焦點坐標為F₁（-2，0），F₂（2，0），
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，a＞0，
∵橢圓過點（

5

，-

3

），
∴

5

a2

+

3

a2-4

=1，
解得a²=10，或a²=2（舍），
∴橢圓方程為

x2

10

+

y2

6

=1．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查橢圓方程的求法，考解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．