Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b²+c²-a²=bc
（1）求角A；
（2）若b=2，且△ABC的面積為S=2

3

，求a的值．
（3）求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式代入計(jì)算求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將b，sinA，以及已知面積相等求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值；
（3）由A的度數(shù)求出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入sinB+sinC中，利用和差化積公式變形，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出范圍．

解答： 解：（1）∵b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵A為三角形的內(nèi)角，
∴A=

π

3

；
（2）∵S=2

3

，b=2，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc=

3

2

c=2

3

，即c=4，
則a²=b²+c²-2bccosA=4+16-8=12，即a=2

3

；
（3）∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B）=2sin

π

3

cos（B-

π

3

）=

3

cos（B-

π

3

），
∵0＜B＜

2π

3

，即-

π

3

＜B-

π

3

＜

π

3

，
∴

1

2

＜cos（B-

π

3

）≤1，即

3

2

＜

3

cos（B-

π

3

）≤

3

，
則sinB+sinC的范圍為（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查余弦定理，三角形面積公式，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．