Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），P（4，3），將向量$\overrightarrow{OP}$繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)$\frac{2π}{3}$后得向量$\overrightarrow{OQ}$，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（　�。�

• A． （$\frac{{-3+4\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-4+3\sqrt{3}}}{2}$）
• B． （$\frac{{-3+4\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-4-3\sqrt{3}}}{2}$）
• C． （$\frac{{-4+3\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-3-4\sqrt{3}}}{2}$）
• D． （$\frac{{-4-3\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-3+4\sqrt{3}}}{2}$）

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{OQ}$與x軸正方向的夾角，再利用任意角的三角函數(shù)的定義、兩角和的三角公式，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），P（4，3），設(shè)OP的傾斜角為θ，
則θ∈（0，$\frac{π}{4}$），|OP|=5，cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$\frac{3}{5}$，
將向量$\overrightarrow{OP}$繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)$\frac{2π}{3}$后得向量$\overrightarrow{OQ}$，則$\overrightarrow{OQ}$與x軸正方向的夾角為θ+$\frac{2π}{3}$，
則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為 5•cos（θ+$\frac{2π}{3}$）=5[$\frac{4}{5}•（-\frac{1}{2}）$-$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$]=-2-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為 5•sin（θ+$\frac{2π}{3}$）=5[$\frac{3}{5}•（-\frac{1}{2}）$+$\frac{4}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$]=-$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．