Question

16．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），圖象上有一個最低點是P（-$\frac{π}{6}$，-1），對于f（x₁）=1，f（x₂）=3，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）若f（α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{11}{8}$，且α為第三象限的角，求sinα+cosα的值；
（Ⅱ）討論y=f（x）+m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上零點的情況．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，求出A、ω與φ的值，寫出f（x）的解析式，再計算sinα+cosα的值；
（Ⅱ）根據(jù)x的取值范圍，計算f（x）的值域，再求函數(shù)y=f（x）+m在$[0，\frac{π}{2}]$上的零點問題．

解答 解：（Ⅰ）由已知：-A+1=-1，
∴A=2，$\frac{T}{4}=\frac{π}{4}$，解得T=π，∴ω=2；（2分）
又且過點$P（-\frac{π}{6}，-1）$，
∴$sin（-\frac{π}{6}×2+φ）=-1$，
∴$φ=-\frac{π}{6}$；（4分）
∴f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$；（5分）
由$f（α+\frac{π}{12}）=\frac{11}{8}$，得 $2sin2α=\frac{3}{8}$，（7分）
∵α為第三象限的角，
∴sinα+cosα=$-\sqrt{1+sin2α}=-\frac{{\sqrt{19}}}{4}$；（8分）
（Ⅱ）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$0≤2sin（2x-\frac{π}{6}）+1≤3$，
∴$0≤2sin（2x-\frac{π}{6}）+1≤3$；（10分）
∴①當-2＜m≤0或m=-3時，函數(shù)y=f（x）+m在$[0，\frac{π}{2}]$上只有一個零點；
②當-3＜m≤-2時，函數(shù)y=f（x）+m在$[0，\frac{π}{2}]$上有兩個零點；
 ③當m＜-3或m＞0時，函數(shù)y=f（x）+m在$[0，\frac{π}{2}]$上沒有零點．      …（13分）

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了函數(shù)零點的應用問題，是綜合性題目．