Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點，M（

2

3

，m）是C₁與C₂在第一象限內(nèi)的交點，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求p的值與橢圓的方程；
（2）設(shè)點Q是橢圓上除長軸兩端外的任意一點，試問在x軸上是否存在兩定點A，B，使得直線QA，QB的斜率之積為定值？若存在，請求出定值以及定點A，B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點M(

2

3

，m)在拋物線上，且|MF2|=

5

3

，拋物線準線為x=-

p

2

，可得

2

3

+

p

2

=

5

3

，求出p，求得M的坐標，由它在橢圓上及橢圓右焦點為F₂（1，0），求出a，b，即可求出橢圓的方程；
（2）求出直線QA，QB的斜率之積，利用直線QA，QB的斜率之積為定值，根據(jù)恒等關(guān)系，即可求出定點A，B的坐標．

解答： 解：（1）因為點M(

2

3

，m)在拋物線上，且|MF2|=

5

3

，拋物線準線為x=-

p

2

，
所以，

2

3

+

p

2

=

5

3

，解得：p=2，…（3分）
所以，拋物線方程為y²=4x，焦點F₂（1，0），
點M(

2

3

，m)代入y²=4x得m=

2 6

3

，所以點M(

2

3

，

2 6

3

)，
由它在橢圓上及橢圓右焦點為F₂（1，0）得

a2-b2=1 ( 2 3 )2 a2 + ( 2 6 3 )2 b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

，
所以，橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）

（2）設(shè)A(s，0)

，

B(t，0)

，

Q(x0，y0)，因為點Q是橢圓上除長軸兩端外的任意一點，
所以，

x02

4

+

y02

3

=

1

，即

y

2 0

=3(1-

x 2 0

4

)，設(shè)直線QA，QB的斜率之積為定值k，…（8分）
所以，KQA•KQB=

y0

x0-s

•

y0

x0-t

=

y 2 0

x 2 0 -(s+t)x0+st

=

3(1- x 2 0 4 )

x 2 0 -(s+t)x0+st

=k，
所以，3-

3 x 2 0

4

=k

x

2 0

-k(s+t)x0+kst，所以，

k=- 3 4 -k(s+t)=0 kst=3

⇒

k=- 3 4 s=2 t=-2

o

r

k=- 3 4 s=-2 t=2

，
所以，斜率之積為定值-

3

4

，定點A，B的坐標為（2，0），（-2，0）．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程和求法和定點A，B的求法，解題時要認真審題，注意拋物線的性質(zhì)的靈活運用，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．