Question

已知函數(shù)f（x）=

- 1 2 x(0≤x≤4) 1 2 x2-4x+6(4＜x≤6)

的圖象上有兩點(diǎn)A（t，f（t））、B（t+1，f（t+1）），自A、B作x軸的垂線，垂足為D、C，求四邊形ABCD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式（如圖），并求S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別求0＜t≤3，3＜t＜4，4≤t＜5，面積S的表達(dá)式，注意運(yùn)用f（x）的表達(dá)式和梯形面積公式，再求各段的最大值，注意運(yùn)用配方和二次函數(shù)的性質(zhì)，再求最大的即可．

解答： 解：當(dāng)t＞0且t+1≤4時(shí)，即0＜t≤3，
AD=|f（t）|=

1

2

t，BC=|f（t+1）|=

1

2

（t+1），CD=1，
則S=

(AD+BC)•CD

2

=

1

2

t+

1

4

，
當(dāng)t＜4且t+1＞4，即3＜t＜4，
AD=

1

2

t，BC=|f（t+1）|=-

1

2

（t+1）²+4（t+1）-6，
則S=

(AD+BC)•CD

2

=-

1

4

t²+

7

4

t-

5

4

，
當(dāng)t≥4且t+1＜6即4≤t＜5，
AD=|f（t）|=-

1

2

t²+4t-6，BC=|f（t+1）|=-

1

2

（t+1）²+4（t+1）-6，
則S=

(AD+BC)•CD

2

=-

1

2

t²+

7

2

t-

17

4

，
∴S=

1 2 t+ 1 4 ，0＜t≤3 - 1 4 t2+ 7 4 t- 5 4 ，3＜t＜4 - 1 2 t2+ 7 2 t- 17 4 ，4≤t＜5

，
當(dāng)0＜t≤3時(shí)，S_max=

1

2

×3+

1

4

=

7

4

；
當(dāng)3＜t＜4時(shí)，S=-

1

4

（t-

7

2

）²+

29

16

，t=

7

2

，得S_max=

29

16

；
當(dāng)4≤t＜5時(shí)，S=-

1

2

（t-

7

2

）²+

15

8

，t=4，得S_max=

7

4

．
綜上，t=

7

2

，得S取最大值，且為

29

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，求分段函數(shù)表達(dá)式，考查分段函數(shù)的最值，注意對(duì)各段分別求最值，再求最大的，屬于中檔題．