Question

設(shè)x₁，x₂是+x（a，b∈R，a＞0）的兩個極值點，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，求f′（-2）的取值范圍；
（Ⅱ）如果0＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求證：；
（Ⅲ）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）時，函數(shù)g（x）=-f′（x）+2（x₂-x）的最大值為h（a），求h（a）的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）對f（x）求導(dǎo)得f'（x）=ax²+（b-1）x+1，由題意x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根．
由x₁＜2＜x₂＜4，且a＞0得即
f'（-2）=4a-2（b-1）+1=4a-2b+3，由（1）（2）所表示的平面區(qū)域可求得4a-2b＞0，
故f'（-2）=4a-2b+3＞3．
所以f'（-2）的取值范圍是（3，+∞）．
（Ⅱ）方程ax²+（b-1）x+1=0的兩根為x₁，x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系得
由于x₁x₂≠0，兩式相除得-（b-1）=，即b=-+1．
由條件x₂=x₁+2可得b=?（x₁）=-+1，易知當(dāng)x₁∈（0，2）時，φ（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x₁∈（0，2）時，?（x₁）＜?（2）=，
故b的取值范圍是．得證．
（Ⅲ）因為f'（x）=0的兩根是x₁，x₂，
故可設(shè)f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
所以g（x）=-f'（x）+2（x₂-x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x）=a（x₂-x）．
由于x∈（x₁，x₂），
因此x₂-x＞0，x-x₁＞0，
又a≥2，可知x-x₁+＞0，
故+2，
當(dāng)且僅當(dāng)x₂-x=x-x₁+
即x=x₁+1-時取等號．
所以h（a）=a++2，a∈[2，+∞），
當(dāng)a∈（2，+∞）時，h'（a）=1-＞0，h（a）在（2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
又h（a）在[2，+∞）上連續(xù)，
故h（a）在[2，+∞）上是增函數(shù)．
所以h（a）_min=h（2）=．
分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系列出關(guān)于a，b的不等式組是解決本題的關(guān)鍵，利用整體思想確定出f′（-2）的取值范圍；
（Ⅱ）建立b與x₁，x₂的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)所得的函數(shù)表達(dá)式利用函數(shù)的單調(diào)性求出b的取值范圍；
（Ⅲ）寫出函數(shù)g（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最大值h（a），利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最小值．
點評：本題屬于函數(shù)與不等式的綜合問題，利用導(dǎo)數(shù)的基本知識確定出相關(guān)的關(guān)系，列出相關(guān)的不等式進(jìn)行綜合轉(zhuǎn)化．本題考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查不等式的基本方法和技巧．考查導(dǎo)數(shù)的工具作用．