Question

11．設(shè)f（x）=$\frac{{e}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{-x}}$（a∈R，a≠0）是定義在R上的函數(shù)
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，判斷并明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，若k²-k≤f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）需對(duì)a進(jìn)行討論，分別假設(shè)是奇函數(shù)和偶函數(shù)求出a的值；
（2）根據(jù)定義，任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的正負(fù)，得出單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求出f（x）的最小值，進(jìn)而求出m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
①假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，由于定義域?yàn)镽，
∴f（-x）=-f（x），
即 $\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$=-（$\frac{{e}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{-x}}$）
整理得（a+$\frac{1}{a}$）（e^x+e^-x）=0，
∴a²+1=0，顯然無(wú)解．
∴f（x）不可能是奇函數(shù)．
②假設(shè)f（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），
即 $\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{-x}}$
整理得（a-$\frac{1}{a}$）（e^x-e^-x）=0，
又∵對(duì)任意x∈R都成立
∴有a-$\frac{1}{a}$=0，得a=±1．
故當(dāng)a=±1時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^-x+e^x，以下討論其單調(diào)性，
任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=${e}^{-{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{-{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{2}}$=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$）＜0，
其中${e}^{{x}_{1}}$、${e}^{{x}_{2}}$＞0，${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)遞增；
（3）由（2）知，f（x）的最小值為f（0）=2，
∴k²-k≤0，
∴0≤k≤1．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)奇偶性和恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換．