Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}$，設{S_n}的前n項和為T_n，T₂₀₁₇=$\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{2}）^{2016}]$．

Answer 1

分析 由S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時，a_2k-1=$\frac{1}{{2}^{2k}}$，n=2k+1為奇數(shù)時，2a_2k+1+a_2k=-$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$，可得a_2k=-$\frac{1}{{2}^{2k}}$．-a_2k-1+a_2k=-$\frac{2}{{2}^{2k}}$．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：由S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時，a_2k-1=$\frac{1}{{2}^{2k}}$，
n=2k+1為奇數(shù)時，2a_2k+1+a_2k=-$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$，∴a_2k=-$\frac{1}{{2}^{2k}}$．
∴-a_2k-1+a_2k=-$\frac{2}{{2}^{2k}}$，
∴T₂₀₁₇=（-a₁+a₂-a₃+…-a₂₀₁₅+a₂₀₁₆-a₂₀₁₇）+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$
=-2（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2018}}$）+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$
=-2×$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{4}）^{1009}]}{1-\frac{1}{4}}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{2017}]}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{2}）^{2016}]$．
故答案為：$\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{2}）^{2016}]$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．