3.已知函數(shù)f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(1)當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,對?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.

分析 (1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),然后令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍,令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍,即可得到答案;
(2)由函數(shù)f(x)在x=1處取得極值求出a的值,再依據(jù)不等式恒成立時所取的條件,求出實數(shù)b的取值范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=$\frac{ax-1}{x}$(x>0),….(2分)
當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時,由f′(x)=0得x=4.
當(dāng)0<x<4時,f′(x)<0;當(dāng)x>4時,f′(x)>0…(4分)
∴f(x)在(0,4)上遞減,在(4,+∞)遞增   …(6分)
(Ⅱ)∵函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,∴a=1  …(7分)
由已知f(x)≥bx-2,則$\frac{x+1-lnx}{x}$≥b
令g(x)=$\frac{x+1-lnx}{x}$=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$,則g′(x)=$\frac{lnx-2}{x}$
易得g(x)在(0,e2]上遞減,在[e2,+∞)上遞增,
所以g(x)min=g(e2)=1-e-2,即b≤1-e-2.…(12分)

點評 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減.會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值.掌握不等式恒成立時所取的條件.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.若存在實常數(shù)k和b,使得函數(shù)F(x)和G(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足:F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立,則稱此直線y=kx+b為F(x)和G(x)的“隔離直線”,已知函數(shù)f(x)=x2(x∈R),g(x)=$\frac{1}{x}$(x<0),h(x)=2elnx,有下列命題:
①F(x)=f(x)-g(x)在$x∈({-\frac{1}{{\root{3}{2}}},0})$內(nèi)單調(diào)遞增;
②f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”,且b的最小值為-4;
③f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”,且k的取值范圍是(-4,0];•
④f(x)和h(x)之間存在唯一的“隔離直線”y=2$\sqrt{e}$x-e.
其中真命題為①②④(請?zhí)钏姓_命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.已知命題p:若m>n,則-m<-n:命題q:若m>n,則m2>n2,在下列命題中
①p∧q;
②p∨q;
③p∧(?q);
④(?p)∨q中,其中真命題是( 。
A.①③B.①④C.②④D.②③

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11.?dāng)?shù)列{an}中,滿足an+2+an=2an+1,且a2,a4028是函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3-3x2+8x+2的極值點,則log3a2015的值是( 。
A.1B.2C.3D.4

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18.設(shè)A1,A2分別為雙曲線C:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的上下頂點,若雙曲線上存在點M使得兩直線斜率k${\;}_{M{A}_{1}}$•k${\;}_{M{A}_{2}}$,則雙曲線C的離心率的取值范圍為( 。
A.(0,$\frac{\sqrt{6}}{2}$)B.(1,$\frac{\sqrt{6}}{2}$)C.($\frac{\sqrt{6}}{2}$,+∞)D.(1,$\frac{3}{2}$)

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8.已知函數(shù)$y=sin({-2x+\frac{π}{6}}),x∈R$
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)的最大值及其對應(yīng)的x的值;
(3)寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

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15.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,它的前n項和為Sn,若S5=70,且a1,a7,a37成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n項和為Tn

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12.已知A=$\{x|y=\sqrt{x}+1\}$,B=$\{y|y=\sqrt{x}-1\}$,則A∩B=( 。
A.(-∞,0)B.[0,+∞)C.[1,+∞)D.[0,1]

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13.如圖所示的程序運行后輸出的第3個數(shù)是2

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