分析 (1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由(1)得${S_n}=2{n^2}+4n$,從而$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{4}({\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}})$,由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和.
解答 解:(1)因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,
所以an=a1+(n-1)d,${S_n}=n{a_1}+\frac{{n({n-1})}}{2}d$. …(1分)
依題意,有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}=5{a}_{1}+10d=70}\\{({a}_{1}+6d)^{2}={a}_{1}({a}_{1}+35)}\end{array}\right.$,…(3分)
解得a1=6,d=4. …(5分)
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n+2(n∈N*). …(6分)
(2)由(1)可得${S_n}=2{n^2}+4n$. …(7分)
所以$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{2{n^2}+4n}}=\frac{1}{{2n({n+2})}}$=$\frac{1}{4}({\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}})$. …(9分)
所以${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{S_n}$
=$\frac{1}{4}({1-\frac{1}{3}})+\frac{1}{4}({\frac{1}{2}-\frac{1}{4}})+\frac{1}{4}({\frac{1}{3}-\frac{1}{5}})+…+\frac{1}{4}({\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}})+\frac{1}{4}({\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}})$…(11分)
=$\frac{1}{4}({1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}})$
=$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}({\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}})$. …(12分)
點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
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A. | 6 | B. | 7 | C. | 8 | D. | 9 |
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A. | n≤5? | B. | n≤6? | C. | n≥5? | D. | n≥6? |
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